Dirac structures on Hilbert spaces release_lieflqcusfdqtfjqkcrmroq7f4

by A. Parsian, A. Shafei Deh Abad

Published in International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences by Hindawi Limited.

1999   Volume 22, p97-108

Abstract

For a real Hilbert space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$(H,\langle,\rangle)$"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, a subspace<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$L \subset H \oplus H$"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>⊕</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is said to be a Dirac structure on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$H$"><mml:mi>H</mml:mi></mml:math>if it is maximally isotropic with respect to the pairing<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\leftangle (x,y),(x',y')\rightangle_+ = (1/2)(\leftangle x,y'\rightangle + \leftangle x',y \rightangle)$"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>. By investigating some basic properties of these structures, it is shown that Dirac structures on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$H$"><mml:mi>H</mml:mi></mml:math>are in one-to-one correspondence with isometries on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$H$"><mml:mi>H</mml:mi></mml:math>, and, any two Dirac structures are isometric. It is, also, proved that any Dirac structure on a smooth manifold in the sense of [1] yields a Dirac structure on some Hilbert space. The graph of any densely defined skew symmetric linear operator on a Hilbert space is, also, shown to be a Dirac structure. For a Dirac structure<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$L$"><mml:mi>L</mml:mi></mml:math>on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$H$"><mml:mi>H</mml:mi></mml:math>, every<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$z \in H$"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is uniquely decomposed as<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$z = p_1(l) + p_2(l)$"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>for some<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$l \in L$"><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p_1$"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p_2$"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math>are projections. When<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p_1(L)$"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>is closed, for any Hilbert subspace<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$W \subset H$"><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, an induced Dirac structure on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$W$"><mml:mi>W</mml:mi></mml:math>is introduced. The latter concept has also been generalized.
In application/xml+jats format

Archived Files and Locations

application/pdf  145.8 kB
file_3ten5go3gvanpc7hc46g4uxq44
web.archive.org (webarchive)
www.emis.de (web)
Read Archived PDF
Preserved and Accessible
Type  article-journal
Stage   published
Year   1999
Language   en ?
Journal Metadata
Open Access Publication
In DOAJ
In ISSN ROAD
In Keepers Registry
ISSN-L:  0161-1712
Work Entity
access all versions, variants, and formats of this works (eg, pre-prints)
Catalog Record
Revision: a8341ace-5469-429e-8856-50a82f6dfbf5
API URL: JSON